άρρητος αριθμός

Η έννοια του ά.α. σχηματίζεται από την έννοια του ρητού και αυτή από την έννοια του κλάσματος. Το σύνολο όλων των κλασμάτων διαμερίζεται σε κλάσεις, έτσι ώστε σε κάθε κλάση να ανήκουν μόνο ίσα κλάσματα, ενώ δεν υπάρχει κλάσμα που να ανήκει συγχρόνως σε δύο κλάσεις. Αυτό το εκφράζουμε λέγοντας ότι οι κλάσεις είναι ξένες μεταξύ τους ανά δύο. Καθεμία από αυτές τις κλάσεις ονομάζεται ρητός αριθμός και κάθε κλάσμα από μία κλάση ονομάζεται αντιπρόσωπος ή παράσταση του ρητού αριθμού, που ορίζει αυτή η κλάση. Κάθε ρητός παίρνει το όνομα ενός οποιουδήποτε αντιπροσώπου του. Έτσι η κλάση: είναι ένας ρητός, «ο ρητός » (ή o «ρητός » κλπ.). Κάθε ρητός μπορεί να παρασταθεί και ως ένας «δεκαδικός περιοδικός αριθμός»· έτσι o ρητός 1/3 παριστάνεται από τον δεκαδικό περιοδικό αριθμό 0,333...3... Οι δεκαδικοί περιοδικοί αριθμοί έχουν άπειρα δεκαδικά ψηφία, τα οποία –όπως λέγεται– είναι περιοδικά, δηλαδή ύστερα από κάποιο δεκαδικό ψηφίο εμφανίζεται ένα τμήμα από ψηφία, που διαρκώς επαναλαμβάνεται (η περίοδος), χωρίς να εμφανίζονται πλέον άλλα από τα ψηφία του τμήματος αυτού, π.χ. 4,17385385385...385... (περίοδος: 385). Αν λάβουμε δύο ευθύγραμμα τμήματα, έστω Τ₁ και Τ₂ και το ένα από αυτά, έστω το Τ₂, ως μονάδα, τότε ενδέχεται να υπάρχει ένας ρητός αριθμός, που να εκφράζει από πόσες μονάδες Τ₂ και μέρη της μονάδας αποτελείται το Τ₁. Λέμε τότε ότι o ρητός αυτός αριθμός είναι o λόγος του τμήματος Τ₁ προς το τμήμα Τ₂ είτε το μήκος του Τ₁ με μονάδα το Τ₂. Τα δύο τμήματα Τ₁ και Τ₂ ονομάζονται τότε σύμμετρα. Είναι όμως επίσης ενδεχόμενο τα προηγούμενα να μη ισχύουν· τότε τα δύο ευθύγραμμα τμήματα ονομάζονται ασύμμετρα. Ήδη οι αρχαίοι Έλληνες γεωμέτρες είχαν διαπιστώσει την ύπαρξη ασύμμετρων μεγεθών. Ένα τέτοιο παράδειγμα (ίσως το πρώτο του είδους) έχουμε, αν ως τμήμα Τ₁ λάβουμε τη διαγώνιο ενός τετραγώνου και ως Τ₂ την πλευρά του. Σε περιπτώσεις όπως η προηγούμενη μπορεί να σχηματιστούν αύξουσες ακολουθίες από ρητούς, καθώς και φθίνουσες με την εξής ιδιότητα: αν α σημαίνει μία από τις αύξουσες και β μία από τις φθίνουσες, τότε 1) κάθε όρος της α είναι μικρότερος από κάθε όρο της β και 2) η ακολουθία με όρους τις διαφορές των όρων της α από τους όρους της ίδιας τάξης της β έχει τους όρους της φθίνοντες προς το μηδέν. Κάθε όρος της καθεμίας από τις αύξουσες ακολουθίες ονομάζεται μία κάτω προσέγγιση ενός ά.α., ενώ κάθε όρος της καθεμίας από τις φθίνουσες ακολουθίες ονομάζεται μία άνω προσέγγιση του αυτού ά.α. Καθεμία από τις αύξουσες ή τις φθίνουσες ακολουθίες θεωρείται μία παράσταση του ά.α. που ορίζουν. Με τον τρόπο αυτό καταλήγουμε και σε μία άλλη παράσταση του ά.α. που μοιάζει με την παράσταση του ρητού ως δεκαδικού περιοδικού αριθμού κατά το ότι έχει –όπως λέγεται– άπειρα δεκαδικά ψηφία, αλλά τα ψηφία αυτά δεν εμφανίζονται πάντοτε περιοδικά. Έτσι φτάνουμε στον πρακτικό ορισμό της περίπτωσης του ά.α. ως δεκαδικού αριθμού με άπειρα δεκαδικά ψηφία, όχι περιοδικά, που συναντά κανείς ακόμα στα σχολικά βιβλία. H θεωρία περί ασύμμετρων μεγεθών, που αναπτύσσεται στα Στοιχεία του Ευκλείδη, μπορεί να θεωρηθεί ο πρόδρομος της θεωρίας των ά.α. που θεμελίωσαν ο Ντέντεκιντ και ο Κάντορ. Όμως οι Έλληνες δεν κατασκεύασαν τους ά.α. Οι ρητοί και οι ά.α. φέρονται με την κοινή ονομασία πραγματικοί αριθμοί. Οι ά.α. διακρίνονται σε αλγεβρικούς και υπερβατικούς. Ένας ά.α. ονομάζεται αλγεβρικός, εάν είναι ρίζα κάποιου πολυώνυμου μιας μεταβλητής με ακέραιους τους συντελεστές του. Έτσι ο, √2 = 1,4142 …, που είναι ρίζα του πολυώνυμου x² – 2, είναι ένας αλγεβρικός ά.α. Ο αριθμός π του Αρχιμήδη (π = 3,14159...), δηλαδή ο λόγος της περιφέρειας κύκλου προς τη διάμετρό της, καθώς και o e = 2,718281..., που χρησιμοποιείται ως βάση του λεγόμενου συστήματος των φυσικών λογαρίθμων, είναι υπερβατικοί ά.α. Το σύνολο των υπερβατικών ά.α. έχει τον ίδιο πληθικό αριθμό με το σύνολο όλων των ά.α. καθώς και με το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Είναι εξαιρετικά δύσκολο vα αποδείξει κανείς ότι ένας ά.α. είναι υπερβατικός.